Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные. Длина одной наклонной равна √145, а её проекция равна 8. Найдите длину второй наклонной, если она образует с плоскостью угол 45°.

Решение:

1. Обозначим перпендикуляр как H, наклонные как L₁ и L₂, их проекции как P₁ и P₂.
2. По условию: L₁ = \(\sqrt{145}\), P₁ = 8.
3. Найдем длину перпендикуляра H, используя теорему Пифагора для первой наклонной: \( H^2 + P₁^2 = L₁^2 \)
4. \( H^2 + 8^2 = (\sqrt{145})^2 \)
5. \( H^2 + 64 = 145 \)
6. \( H^2 = 145 - 64 \)
7. \( H^2 = 81 \)
8. \( H = 9 \) (длина перпендикуляра)
9. Вторая наклонная L₂ образует с плоскостью угол 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром (H), проекцией второй наклонной (P₂) и самой второй наклонной (L₂), угол между L₂ и P₂ равен 45°.
10. Таким образом, \( \tan(45°) = \frac{H}{P_2} \). Так как \( \tan(45°) = 1 \), то \( H = P_2 \).
11. Следовательно, \( P_2 = 9 \).
12. Теперь найдем длину второй наклонной L₂, используя теорему Пифагора: \( H^2 + P_2^2 = L_2^2 \)
13. \( 9^2 + 9^2 = L_2^2 \)
14. \( 81 + 81 = L_2^2 \)
15. \( L_2^2 = 162 \)
16. \( L_2 = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2} \)

Ответ: 5) 9√2