Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные. Длина одной наклонной равна \(\sqrt{145}\), а её проекция равна 8. Найдите длину второй наклонной, если она образует с плоскостью угол 45°.

Решение:

1. Найдем длину перпендикуляра: Обозначим длину наклонной как $$l_1 = \sqrt{145}$$, а её проекцию как $$p_1 = 8$$. По теореме Пифагора, длина перпендикуляра $$h$$ равна: $$h^2 = l_1^2 - p_1^2 = (\sqrt{145})^2 - 8^2 = 145 - 64 = 81$$. Следовательно, $$h = \sqrt{81} = 9$$.
2. Найдем длину второй наклонной: Обозначим вторую наклонную как $$l_2$$. Угол между наклонной и плоскостью равен 45°, а перпендикуляр $$h=9$$ является противолежащим катетом к этому углу. По определению тангенса, $$\tan(45°) = \frac{h}{p_2}$$, где $$p_2$$ — проекция второй наклонной. Так как $$\tan(45°) = 1$$, то $$p_2 = h = 9$$.
3. Теперь найдем длину второй наклонной $$l_2$$ по теореме Пифагора: $$l_2^2 = h^2 + p_2^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162$$. Следовательно, $$l_2 = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$$.

Ответ: 1) 9√2