(53) Из точки К проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки К до точки О равно 19.

1. Пусть точки касания A и B. Тогда \(\angle AKO = \angle BKO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник AKO. В этом треугольнике угол \(\angle KAO = 90^\circ\), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2. Расстояние от точки K до точки O равно 19, то есть $$KO = 19$$. Обозначим радиус окружности как $$R$$. Тогда $$AO = R$$.

3. В прямоугольном треугольнике AKO: $$\sin(\angle AKO) = \frac{AO}{KO}$$ или $$\sin(30^\circ) = \frac{R}{19}$$.

4. Так как $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{2} = \frac{R}{19}$$. Отсюда $$R = \frac{19}{2} = 9.5$$.

Ответ: 9.5