Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность наклонных равна 2 см.

Пусть дана точка А и прямая l. Из точки А проведены две наклонные AB и AC, проекции которых на прямую l равны BD = 5 см и DC = 9 см соответственно. Разность наклонных AB - AC = 2 см. Необходимо найти расстояние от точки А до прямой l, т.е. высоту AD.

Пусть AD = x см. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABD:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2 = x^2 + 5^2 = x^2 + 25$$

Для треугольника ADC:

$$AC^2 = AD^2 + DC^2 = x^2 + 9^2 = x^2 + 81$$

Также известно, что AB - AC = 2, значит AB = AC + 2. Подставим в первое уравнение:

$$(AC + 2)^2 = x^2 + 25$$

$$AC^2 + 4AC + 4 = x^2 + 25$$

Выразим AC из второго уравнения: $$AC = \sqrt{x^2 + 81}$$

Подставим в первое уравнение:

$$(\sqrt{x^2 + 81})^2 + 4\sqrt{x^2 + 81} + 4 = x^2 + 25$$

$$x^2 + 81 + 4\sqrt{x^2 + 81} + 4 = x^2 + 25$$

$$4\sqrt{x^2 + 81} = x^2 + 25 - x^2 - 81 - 4$$

$$4\sqrt{x^2 + 81} = -60$$

Т.к. корень не может быть отрицательным, то решений нет.

Сделаем вывод, что AC - AB = 2, значит AC = AB + 2. Подставим во второе уравнение:

$$(AB + 2)^2 = x^2 + 81$$

$$AB^2 + 4AB + 4 = x^2 + 81$$

Выразим AB из первого уравнения: AB = $$\sqrt{x^2 + 25}$$

Подставим в уравнение:

$$(\sqrt{x^2 + 25})^2 + 4\sqrt{x^2 + 25} + 4 = x^2 + 81$$

$$x^2 + 25 + 4\sqrt{x^2 + 25} + 4 = x^2 + 81$$

$$4\sqrt{x^2 + 25} = x^2 + 81 - x^2 - 25 - 4$$

$$4\sqrt{x^2 + 25} = 52$$

$$\sqrt{x^2 + 25} = 13$$

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$$x^2 + 25 = 169$$

$$x^2 = 169 - 25$$

$$x^2 = 144$$

$$x = \sqrt{144}$$

$$x = 12$$

Расстояние от точки до прямой равно 12 см.

Ответ: 12 см.