В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота AD. Известно, что BD = 4 см, DC = 16 см. Найдите основание АС треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота AD. Известно, что BD = 4 см, DC = 16 см. Найдите основание АС треугольника. Сколько решений имеет задача?

Сделаем чертеж.

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C
  4      16
D

Рассмотрим треугольник ABD - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

$$BC^2 = AD^2 + DC^2$$

Так как AB = BC, то

$$AD^2 + BD^2 = AD^2 + DC^2$$

Подставим известные значения:

$$AD^2 + 4^2 = AD^2 + 16^2$$

Вычислим AD:

$$AD^2 + 16 = AD^2 + 256$$

Выражение не имеет смысла, т.к. высота не может быть отрицательной.

Сделаем другой чертеж. Высота проведена из угла B.

    B
   / \
  /   \
 /     \
A-------C
  4    16
  D

Т.к. треугольник равнобедренный, то BD является медианой и высотой. Тогда AD = DC = 10 см. AC = AD + DC = 4 + 16 = 20 см.

Т.к. решение единственное, задача имеет одно решение.

Ответ: АС = 20 см, задача имеет одно решение.