Из точки \(M\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(MA\) и \(MB\). Найдите расстояние между точками касания \(A\) и \(B\), если \(\angle AOB = 120^\circ\) и \(MO = 4\).

Так как \(MA\) и \(MB\) - касательные к окружности, то \(\angle MAO = \angle MBO = 90^\circ\). Рассмотрим четырехугольник \(MAOB\). Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), следовательно, \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Треугольники \(MAO\) и \(MBO\) равны (по катету и гипотенузе), значит, \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \angle AMB\). \(\angle AMO = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(MAO\) имеем \(MO = 4\) и \(\angle AMO = 30^\circ\). Тогда \(AO = \frac{1}{2} MO = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы). Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он равнобедренный (\(OA = OB\) как радиусы), и \(\angle AOB = 120^\circ\). Значит, \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{1}{2} (180^\circ - 120^\circ) = 30^\circ\). Проведем высоту \(OH\) в треугольнике \(AOB\). Она также является медианой и биссектрисой. Тогда \(\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(AOH\) имеем \(AO = 2\) и \(\angle AOH = 60^\circ\). Тогда \(AH = AO \cdot \sin(\angle AOH) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\). \(AB = 2AH = 2\sqrt{3}\). Ответ: \(2\sqrt{3}\)