Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна \(4\sqrt{2}\), а угол между ней и одним из оснований равен \(135^\circ\). Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция \(ABCD\), где \(AD = 18\), \(BC = 12\), \(AB = 4\sqrt{2}\), и \(\angle BAD = 135^\circ\). Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). Тогда \(\angle BAH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) имеем \(\angle BAH = 45^\circ\), следовательно, \(\angle ABH = 45^\circ\), и треугольник \(ABH\) - равнобедренный. Значит, \(AH = BH\). По теореме Пифагора, \(AB^2 = AH^2 + BH^2 = 2AH^2\), откуда \(AH^2 = \frac{AB^2}{2} = \frac{(4\sqrt{2})^2}{2} = \frac{32}{2} = 16\). Следовательно, \(AH = BH = 4\). \(HD = AD - AH - BC = AD - AH = 18 - 4 = 14\). Площадь трапеции равна \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{12 + 18}{2} \cdot 4 = \frac{30}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60\). Ответ: 60