18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите 1 между точками касания А и В, если ДАОВ= 120° и МО = 4.

Так как МА и МВ - касательные к окружности с центром О, то углы ∠MAO и ∠MBO прямые, то есть ∠MAO = ∠MBO = 90°.

Рассмотрим четырехугольник MAOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно:

∠MAO + ∠AOB + ∠MBO + ∠AMB = 360°

90° + 120° + 90° + ∠AMB = 360°

300° + ∠AMB = 360°

∠AMB = 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAO. В нем ∠MAO = 90°, MO = 4. Угол ∠AOM = 1/2 ∠AOB, т.е. ∠AOM = 60°

sin(∠AOM) = sin(60°) = MA / MO

AO = MO * sin(60°) = 4 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 2\(\sqrt{3}\)

То есть радиус окружности AO = BO = 2\(\sqrt{3}\).

Теперь найдем AB, используя теорему косинусов в треугольнике AOB:

AB² = AO² + BO² - 2 * AO * BO * cos(∠AOB)

AB² = (2\(\sqrt{3}\))² + (2\(\sqrt{3}\))² - 2 * 2\(\sqrt{3}\) * 2\(\sqrt{3}\) * cos(120°)

AB² = 12 + 12 - 2 * 4 * 3 * (-0.5)

AB² = 24 + 12

AB² = 36

AB = 6