16. Из точки M к плоскости \(\alpha\) проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9. Найдите расстояние от точки M до плоскости \(\alpha\).

Пусть MO - перпендикуляр к плоскости \(\alpha\), MA и MB - наклонные, OA и OB - их проекции на плоскость \(\alpha\). Дано: MA = 20 см, MB = 15 см, OA : OB = 16 : 9. Надо найти MO. Пусть OA = 16x, OB = 9x. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \(\triangle MOA\) и \(\triangle MOB\). Применим теорему Пифагора для каждого из них: 1. Для \(\triangle MOA\): \[MO^2 = MA^2 - OA^2 = 20^2 - (16x)^2 = 400 - 256x^2\] 2. Для \(\triangle MOB\): \[MO^2 = MB^2 - OB^2 = 15^2 - (9x)^2 = 225 - 81x^2\] Так как MO - общее, приравняем оба выражения: \[400 - 256x^2 = 225 - 81x^2\] Перенесем известные значения в одну сторону, а неизвестные в другую: \[400 - 225 = 256x^2 - 81x^2\] \[175 = 175x^2\] \[x^2 = 1\] \[x = 1\] Теперь, когда мы нашли x, можем найти MO. Подставим x = 1 в любое из уравнений для MO^2. Например, во второе: \[MO^2 = 225 - 81(1)^2 = 225 - 81 = 144\] \[MO = \sqrt{144} = 12\] Следовательно, расстояние от точки M до плоскости \(\alpha\) равно 12 см. Ответ: 12 см