15. Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

Пусть O - центр правильного треугольника ABC. MO - перпендикуляр к плоскости ABC, и MO - искомое расстояние. 1. Найдем AO. В правильном треугольнике ABC со стороной 6 см, AO является радиусом описанной окружности. Радиус описанной окружности для правильного треугольника можно найти по формуле: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\] Где a - сторона треугольника. В нашем случае a = 6 см. Тогда \[AO = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\] 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle MAO\). В нем MA = 4 см (по условию), AO = \(2\sqrt{3}\) см. Найдем MO по теореме Пифагора: \[MO^2 = MA^2 - AO^2\] \[MO^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2\] \[MO^2 = 16 - 12 = 4\] \[MO = \sqrt{4} = 2\] Следовательно, расстояние от точки M до плоскости ABC равно 2 см. Ответ: 2 см