Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от центра окружности с радиусом 5 см, проведены две касательные. Найдите расстояние между точками касания.

Пусть O - центр окружности, A - точка, из которой проведены касательные, B и C - точки касания. Тогда OB = OC = 5 см (радиусы). OA = 10 см. Касательные AB и AC перпендикулярны радиусам OB и OC соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. Синус угла BOA равен отношению противолежащего катета (BA) к гипотенузе (OA): $$\sin(\angle BOA) = \frac{OB}{OA} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, угол $$\angle BOA = 30^\circ$$.

Угол BOC равен 2 * угол BOA = 2 * 30 = 60 градусов.

Треугольник BOC - равнобедренный (OB = OC). Так как угол BOC = 60 градусов, то углы OBC и OCB также равны (180 - 60) / 2 = 60 градусов. Следовательно, треугольник BOC - равносторонний, и BC = OB = OC = 5 см.

Ответ: 5 см