К окружности радиусом 3 см из точки P, находящейся на расстоянии 9 см от центра окружности, проведена касательная. Найдите длину касательной.

Пусть O - центр окружности, P - точка, из которой проведена касательная, A - точка касания. Тогда OA - радиус окружности, и OA = 3 см. OP = 9 см. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, следовательно, треугольник OAP - прямоугольный, с прямым углом A.

По теореме Пифагора: $$OP^2 = OA^2 + AP^2$$. Нам нужно найти AP (длину касательной).

Выразим AP: $$AP^2 = OP^2 - OA^2$$.

Подставим известные значения: $$AP^2 = 9^2 - 3^2 = 81 - 9 = 72$$.

Тогда $$AP = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$.

Ответ: $$6\sqrt{2}$$ см