12. Из вершины А развернутого угла ВАС провели два луча АК и АМ так, что угол ВАС разделился на три равные части. Будет ли биссектриса среднего угла КАМ перпендикулярна сторонам развернутого угла?

Развернутый угол ВАС равен $$180^{\circ}$$.

Угол ВАС разделили на три равные части, значит, каждый из углов равен: $$\frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$$.

Угол КАМ - это средний угол, и он равен $$60^{\circ}$$.

Биссектриса угла КАМ делит его пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной АК (или АМ) равен: $$\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$.

Угол между лучом АК и стороной развернутого угла равен $$60^{\circ}$$.

Тогда угол между биссектрисой угла КАМ и стороной развернутого угла будет: $$60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$$.

Следовательно, биссектриса угла КАМ перпендикулярна сторонам развернутого угла.

Ответ: Да, будет.