Из вершины угла, равного α, проведен луч, перпендикулярный к его биссектрисе. Этот луч образует с одной из сторон данного угла острый угол. Найдите этот угол.

Решение:

Пусть данный угол равен $$ \text{α} $$. Его биссектриса делит угол пополам, то есть на два угла по $$ \frac{ \text{α} }{2} $$.

Пусть луч, проведенный из вершины угла, перпендикулярен к биссектрисе. Это значит, что угол между лучом и биссектрисой равен 90°.

Этот луч образует с одной из сторон угла угол, который мы хотим найти. Обозначим этот угол $$ \text{β} $$.

Рассмотрим случай, когда луч проведен так, что он находится между биссектрисой и одной из сторон угла. Тогда угол $$ \text{α} / 2 $$ состоит из угла между лучом и биссектрисой (90°) и угла $$ \text{β} $$. Это невозможно, так как $$ \text{α} / 2 $$ всегда меньше 90° (угол $$ \text{α} $$ обычно меньше 180°).

Значит, луч выходит за пределы одного из половинных углов, образованных биссектрисой. Рассмотрим угол, который составляет биссектриса с одной из сторон, то есть $$ \frac{ \text{α} }{2} $$.

Угол между лучом и биссектрисой равен 90°.

Угол, который мы ищем ($$ \text{β} $$), является разницей между углом в 90° (между лучом и биссектрисой) и углом $$ \frac{ \text{α} }{2} $$ (между биссектрисой и стороной угла).

• \[ \text{β} = 90° - \frac{ \text{α} }{2} \]

В условии сказано, что этот угол острый, что подтверждает, что $$ \frac{ \text{α} }{2} $$ меньше 90°.

Ответ: $$90° - \frac{ \text{α} }{2}$$