698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: a) \begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases} b) \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} c) \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases}

a) \begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases} * Первое уравнение: $$y = x^3$$ - это кубическая парабола. * Второе уравнение: $$xy = -12 \Rightarrow y = -\frac{12}{x}$$ - это гипербола. Гипербола находится во втором и четвертом квадрантах. Кубическая парабола проходит через все квадранты. Они пересекаются в двух точках. Ответ: 2 решения. b) \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} * Первое уравнение: $$y = x^2 + 8$$ - это парабола с вершиной в точке (0; 8), ветви направлены вверх. * Второе уравнение: $$y = -x^2 + 12$$ - это парабола с вершиной в точке (0; 12), ветви направлены вниз. Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений: $$x^2 + 8 = -x^2 + 12 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$$. Так как у нас два различных значения $$x$$, и для каждого из них есть соответствующее значение $$y$$, то система имеет два решения. Ответ: 2 решения. c) \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases} * Первое уравнение: $$y = x^2 + 1$$ - это парабола с вершиной в точке (0; 1), ветви направлены вверх. * Второе уравнение: $$xy = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{x}$$ - это гипербола. Гипербола находится в первом и третьем квадрантах. Они пересекаются в двух точках. Ответ: 2 решения.