274. Известно, что ΔABC ~ ΔMNK. Найдите: а) величину угла В, если ∠M = 80°, ∠K = 40°; б) величину угла К, если ∠N = 75°, ∠A = ∠B; в) длину стороны АВ, если ВС = 15 см, MN = 21 см, NК = 45 см; г) площадь треугольника MNK, если ∠A = 90°, ВС = 15 см, АВ = = 12 см, NК = 5 см.

а) В треугольнике MNK сумма углов равна 180°.

$$∠N = 180° - ∠M - ∠K = 180° - 80° - 40° = 60°$$

Так как треугольники ABC и MNK подобны, то соответственные углы равны.

$$∠B = ∠N = 60°$$

б) В треугольнике MNK сумма углов равна 180°.

$$∠M + ∠N + ∠K = 180°$$

По условию ∠N = 75°, ∠A = ∠B, значит ∠M = ∠A = ∠B. Подставим известные значения:

$$∠B + 75° + ∠K = 180°$$

Выразим угол К:

$$∠K = 180° - 75° - ∠B = 105° - ∠B$$

Сумма углов треугольника АВС:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

Так как ∠A = ∠B, то

$$∠B + ∠B + ∠C = 180°$$ $$2∠B + ∠C = 180°$$ $$∠C = 180° - 2∠B$$

Так как треугольники подобны, то ∠C = ∠K.

Подставим ∠K = 105° - ∠B и ∠C = 180° - 2∠B

$$105° - ∠B = 180° - 2∠B$$ $$2∠B - ∠B = 180° - 105°$$ $$∠B = 75°$$ $$∠K = 105° - 75° = 30°$$

в) Треугольники АВС и MNK подобны, следовательно, их стороны пропорциональны.

$$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK}$$ $$\frac{AB}{21} = \frac{15}{45}$$ $$AB = \frac{21 \cdot 15}{45} = 7$$

г) Так как угол А = 90°, то треугольник АВС - прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$$

По теореме Пифагора:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ $$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$$ $$AC = \sqrt{81} = 9$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$$

Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{BC}{NK} = \frac{15}{5} = 3$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2$$ $$\frac{54}{S_{MNK}} = 3^2$$ $$S_{MNK} = \frac{54}{9} = 6$$

Ответ: а) 60°; б) 30°; в) 7 см; г) 6 см².