276. На рисунке 260 ∠BAC = 90°, HK ⊥ AC, AK = 4 см, КС = 12 см, АВ = 8 см. Найдите длину НК.

Рассмотрим рисунок 260.

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота AH к гипотенузе BC. Тогда

$$AH^2 = CH \cdot BH$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AK + KC = 4 + 12 = 16$$ $$AC = \sqrt{16} = 4$$ $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$$ $$BC = \sqrt{80}$$

Площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$$

С другой стороны, площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC$$ $$AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 16}{\sqrt{80}} = \frac{32}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$$

Треугольники AKH и ABC подобны по двум углам (∠A - общий, ∠AKH = ∠ABC = 90°), следовательно:

$$\frac{AK}{AB} = \frac{HK}{BC}$$ $$\frac{4}{8} = \frac{HK}{\sqrt{80}}$$ $$HK = \frac{4 \cdot \sqrt{80}}{8} = \frac{\sqrt{80}}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$

Ответ: $$2\sqrt{5}$$ см.