4. Известно, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA. Докажите, что ВК = АК.

Дано: ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.

Доказать: ВК = АК.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AST и BST.
2. В них ST - общая сторона, ∠BST = ∠AST (по условию), ∠STB = ∠STA (по условию).
3. Следовательно, ΔAST = ΔBST по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. AS = BS.
5. Рассмотрим треугольники ASK и BSK.
6. В них AS = BS (из п.4), ∠ASK = ∠BSK (т.к. ∠AST = ∠BST), SK - общая сторона.
7. Следовательно, ΔASK = ΔBSK по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. AK = BK.

Что и требовалось доказать.

Ответ: ВК = АК