Известно, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA (рис. 49). Докажите, что BK = AK.

Рассмотрим треугольники BST и AST:

1. ∠BST = ∠AST (по условию)
2. ∠STB = ∠STA (по условию)
3. ST - общая сторона

Следовательно, треугольники BST и AST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что BS = AS и BT = AT.

Теперь рассмотрим треугольники BKA и AKT:

1. BA - общая сторона.
2. ∠BTA = ∠STA (по условию)

Т.к. BS = AS, то треугольник ABS - равнобедренный, следовательно ∠BSA = ∠ASB.

Так как ∠BST = ∠AST, то ∠BSK = ∠ASK.

Теперь рассмотрим треугольники BSK и ASK.

1. AS = BS
2. ∠BSK = ∠ASK
3. SK - общая сторона

Следовательно, треугольники BSK и ASK равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что BK = AK.

Ответ: BK = AK.