4. Известно, что ∠BST = ∠AST и LSTB = ∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = AK.

Рассмотрим треугольники BST и AST:

1. ∠BST = ∠AST (по условию)
2. ∠STB = ∠STA (по условию)
3. ST - общая сторона
4. Следовательно, треугольники BST и AST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
5. Из равенства треугольников BST и AST следует, что BS = AS и BT = AT. Таким образом, треугольник ABS и треугольник ABT - равнобедренные.
6. Рассмотрим треугольники BKA и AKB.
7. Так как BS = AS, то треугольник ABS - равнобедренный, и AK - его медиана (по условию). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, AK ⊥ BS и ∠BAK = ∠SAK.
8. Аналогично, так как BT = AT, то треугольник ABT - равнобедренный, и BK - его медиана. Следовательно, BK ⊥ AT и ∠ABK = ∠TBK.
9. Рассмотрим треугольники BKA и AKB:
10. AK - общая сторона
11. ∠BKA = ∠AKT (оба прямые углы, так как AK ⊥ BS и BK ⊥ AT)
12. ∠BAK = ∠TAK (доказано выше)
13. Следовательно, треугольники BKA и AKB равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
14. Из равенства треугольников BKA и AKB следует, что BK = AK.

Ответ: ВК = AK (что и требовалось доказать).