4. Известно, что ∠BST = ∠AST и ZSTB = ∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = AK.

Дано: ∠BST = ∠AST, ∠STB = ∠STA.

Доказать: BK = AK.

1. Рассмотрим треугольники AST и BST:
   • ∠BST = ∠AST (по условию)
   • ∠STB = ∠STA (по условию)
   • ST — общая сторона
2. Следовательно, треугольники AST и BST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BS = AS и BT = AT.
4. Рассмотрим треугольники BSK и ASK:
   • BS = AS (из пункта 3)
   • ∠BSK = ∠ASK (так как ∠BST = ∠AST, и K лежит на ST)
   • SK — общая сторона
5. Следовательно, треугольники BSK и ASK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. Из равенства треугольников BSK и ASK следует равенство соответствующих сторон: BK = AK.

Ответ: BK = AK доказано.