4. Известно, что АВ = = AD и ВС = DC (рис. 45). Докажите, что ВО = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

1) AB = AD (по условию).

2) BC = DC (по условию).

3) AC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство углов ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники AOB и AOD.

1) AB = AD (по условию).

2) ∠BAC = ∠DAC (доказано выше).

3) АО - общая сторона.

Следовательно, треугольники AOB и AOD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников AOB и AOD следует равенство сторон BO = DO.

Ответ: ВО = DO.