3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что LABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим треугольник АВС. По условию задачи треугольник равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠ВАС=∠ВСА.

Рассмотрим углы ∠АВМ и ∠СВК. По условию задачи данные углы равны. Тогда ∠АВС - ∠АВМ = ∠АВС - ∠СВК, следовательно, ∠МВС=∠АВК.

Рассмотрим треугольники АВК и СВМ: АВ = ВС (боковые стороны равнобедренного треугольника АВС), ∠ВАС=∠ВСА (углы при основании равнобедренного треугольника АВС), ∠МВС=∠АВК (доказано выше).

Тогда треугольники АВК и СВМ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников), следовательно, АК = СМ.

АК = АМ + МК

СМ = СК + МК

АМ + МК = СК + МК

АМ = СК

Ответ: АМ = СК.