3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми К так, что ∠ABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = CK.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. На основании AC отмечены точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, и точка M лежит между точками A и K.

Требуется доказать, что AM = CK.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Дано, что ∠ABM = ∠CBK.
3. Рассмотрим углы ∠MBA и ∠KBC. Поскольку ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = ∠CBK + ∠MBC, то ∠ABM = ∠CBK.
4. Рассмотрим треугольники ABM и CBK:
   • AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC).
   • ∠ABM = ∠CBK (по условию).
   • ∠BAM = ∠BCK (так как углы при основании AC в равнобедренном треугольнике ABC равны).
5. Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
6. Из равенства треугольников ABM и CBK следует, что AM = CK как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: AM = CK, что и требовалось доказать.