596. Известно, что числа а², b², с² – последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ: Доказано.

• Шаг 1: Если a², b², c² - последовательные члены арифметической прогрессии, то b² - a² = c² - b², или 2b² = a² + c².
• Шаг 2: Наша цель - доказать, что \(\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}\). То есть нужно показать, что разность между соседними членами постоянна.
• Шаг 3: Упростим выражение: \[\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}\] \[\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{a+c - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}\]
• Шаг 4: Теперь приравняем полученные выражения: \[\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}\]
• Шаг 5: Упростим уравнение, умножив обе части на (a+c): \[\frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b}\] \[(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)\] \[b² - a² = c² - b²\]
• Шаг 6: Полученное равенство b² - a² = c² - b² верно, так как мы знаем, что a², b², c² образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Доказано.