2. Известно, что числа а², b², с² – последовательные члены ариф- тической прогрессии. Докажите, что числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) ке являются последовательными членами некоторой ариф- тической прогрессии.

Решение:

Пусть \(a^2, b^2, c^2\) — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда \[b^2 - a^2 = c^2 - b^2\] \[2b^2 = a^2 + c^2\] Нужно доказать, что числа \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии, то есть: \[\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}\] Упростим это выражение: \[\frac{b+c - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{a+c - (a+b)}{(a+b)(a+c)}\] \[\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}\] \[(b-a)(a+b)(a+c) = (c-b)(b+c)(a+c)\] \[(b^2 - a^2)(a+c) = (c^2 - b^2)(a+c)\] Так как \(2b^2 = a^2 + c^2\), то \(b^2 - a^2 = c^2 - b^2\). Тогда \[(b^2 - a^2)(a+c) = (b^2 - a^2)(a+c)\] Так как обе части уравнения равны, то можно сделать вывод, что числа \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Доказано.