яется ли арифметической прогрессией последовательность заданная омулой: In = 3n+ в) аₙ = n + 4; д) аₙ = -0,5n + 1; 1 an = n² г) ап = ; e) an = 6n? n + 4'

Решение:

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между соседними членами постоянной. в) \(a_n = n + 4\) \[a_{n+1} = (n+1) + 4 = n + 5\] \[a_{n+1} - a_n = (n + 5) - (n + 4) = 1\] Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия. г) \(a_n = \frac{1}{n + 4}\) \[a_{n+1} = \frac{1}{n + 1 + 4} = \frac{1}{n + 5}\] \[a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n + 5} - \frac{1}{n + 4} = \frac{(n + 4) - (n + 5)}{(n + 5)(n + 4)} = \frac{-1}{(n + 5)(n + 4)}\] Разность зависит от n, следовательно, это не арифметическая прогрессия. д) \(a_n = -0.5n + 1\) \[a_{n+1} = -0.5(n+1) + 1 = -0.5n - 0.5 + 1 = -0.5n + 0.5\] \[a_{n+1} - a_n = (-0.5n + 0.5) - (-0.5n + 1) = -0.5n + 0.5 + 0.5n - 1 = -0.5\] Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия. е) \(a_n = 6n\) \[a_{n+1} = 6(n+1) = 6n + 6\] \[a_{n+1} - a_n = (6n + 6) - 6n = 6\] Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия. Для последовательности \(a_n = 3n + \frac{1}{n^2}\): \[a_{n+1} = 3(n+1) + \frac{1}{(n+1)^2} = 3n + 3 + \frac{1}{(n+1)^2}\] \[a_{n+1} - a_n = (3n + 3 + \frac{1}{(n+1)^2}) - (3n + \frac{1}{n^2}) = 3 + \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} = 3 + \frac{n^2 - (n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = 3 + \frac{n^2 - (n^2 + 2n + 1)}{n^2(n+1)^2} = 3 + \frac{-2n - 1}{n^2(n+1)^2}\] Разность зависит от n, следовательно, это не арифметическая прогрессия.

Ответ: Арифметическими прогрессиями являются последовательности в), д), е).