4. Известно, что CK = DK и ∠CKP =∠DKP (рис. 47). Докажите, что ZMCP =ZMDP.

Дано: CK = DK и ∠CKP = ∠DKP.

Доказать: ∠MCP = ∠MDP.

Рассмотрим треугольники CKP и DKP:

• CK = DK (по условию)
• ∠CKP = ∠DKP (по условию)
• KP - общая сторона

Следовательно, треугольники CKP и DKP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников CKP и DKP следует, что CP = DP и ∠KCP = ∠KDP.

Теперь рассмотрим треугольники MCP и MDP:

• CP = DP (из равенства треугольников CKP и DKP)
• MP - общая сторона

Для доказательства равенства углов ∠MCP и ∠MDP, нам нужно доказать равенство сторон MC и MD.

Так как треугольники CKP и DKP равны, то ∠KCP = ∠KDP.

Если рассмотреть четырехугольник CKDP, то можно заметить, что он является дельтоидом (фигура, образованная двумя равнобедренными треугольниками с общим основанием), так как CK = DK и CP = DP.

В дельтоиде диагональ KP является биссектрисой углов ∠CKD и ∠CPD.

Из равенства треугольников CKP и DKP следует, что ∠CPK = ∠DPK.

Таким образом, мы имеем:

• CP = DP
• ∠CPK = ∠DPK
• MP - общая сторона

Следовательно, треугольники MCP и MDP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников MCP и MDP следует, что ∠MCP = ∠MDP.

Ответ: ∠MCP = ∠MDP (доказано).