21.23. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что хорда CD также является диаметром.

Предположим, что диаметр $$AB$$ делит хорду $$CD$$ пополам в точке $$M$$, и $$AB$$ не перпендикулярен $$CD$$. Поскольку $$AB$$ делит $$CD$$ пополам, то $$CM = MD$$. Если $$AB$$ проходит через центр окружности $$O$$, то $$OM$$ является частью диаметра $$AB$$. Если $$OM$$ перпендикулярно $$CD$$, то $$CD$$ - хорда, делящаяся пополам диаметром, что возможно только если $$CD$$ также является диаметром. По условию, $$AB$$ не перпендикулярен $$CD$$, значит, наше предположение, что $$AB$$ - диаметр неверно. Однако, если $$CD$$ является диаметром, то её середина совпадает с центром окружности. В этом случае, поскольку $$AB$$ делит $$CD$$ пополам, то $$AB$$ обязательно проходит через центр окружности. Но так как $$AB$$ не перпендикулярен $$CD$$, то $$AB$$ не является диаметром. Предположим, что $$CD$$ не является диаметром. Тогда середина хорды $$CD$$ (точка $$M$$) не совпадает с центром окружности $$O$$. Так как диаметр $$AB$$ делит хорду $$CD$$ пополам, то $$AB$$ перпендикулярен $$CD$$. Это противоречит условию задачи. Следовательно, $$CD$$ должен быть диаметром. Таким образом, хорда $$CD$$ является диаметром.