21.25. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

Геометрическим местом центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла, является биссектриса этого угла. Докажем это. Пусть дан угол $$BAC$$. Рассмотрим окружность, касающуюся сторон $$AB$$ и $$AC$$ этого угла. Пусть $$O$$ - центр этой окружности. Опустим перпендикуляры из точки $$O$$ на стороны $$AB$$ и $$AC$$. Обозначим точки пересечения перпендикуляров со сторонами угла как $$D$$ и $$E$$ соответственно. Так как $$OD$$ и $$OE$$ - радиусы окружности, проведенные в точки касания, то $$OD = OE$$. Рассмотрим треугольники $$ADO$$ и $$AEO$$. Они прямоугольные, $$OD = OE$$, и $$AO$$ - общая сторона. Следовательно, $$\triangle ADO = \triangle AEO$$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что $$\angle DAO = \angle EAO$$, а это значит, что $$AO$$ - биссектриса угла $$BAC$$. Таким образом, центр любой окружности, касающейся обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, геометрическое место центров окружностей, касающихся обеих сторон данного угла, является биссектрисой этого угла.