4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK=∠FMK.

Рассмотрим треугольники EKC и FKC:

1. EK = FK (по условию)
2. EC = FC (по условию)
3. KC - общая сторона

Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников), а значит, ∠EKC = ∠FKC.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK:

1. EK = FK (по условию)
2. MK - общая сторона
3. ∠EMK = ∠FMK (т.к. ∠EKC = ∠FKC)

Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Значит, ∠EMK = ∠FMK.