Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK =∠FMK.

Для доказательства равенства углов ∠EMK и ∠FMK воспользуемся следующими рассуждениями:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC.
2. По условию, EK = FK и EC = FC.
3. Сторона KC - общая для обоих треугольников.
4. Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
5. Из равенства треугольников EKC и FKC следует равенство углов ∠EKC и ∠FKC. То есть, ∠EKC = ∠FKC.
6. Теперь рассмотрим треугольники EMK и FMK.
7. EK = FK (по условию).
8. MK - общая сторона.
9. Нужно доказать, что ∠EMK = ∠FMK. Для этого рассмотрим углы ∠EKM и ∠FKM.

Так как EK = FK и EC = FC, точки E и F лежат на окружности с центром в точке K. Аналогично точки E и F лежат на окружности с центром в точке C. Тогда KC - биссектриса угла EKF, а MK - биссектриса угла EMF.

Следовательно, ∠EMK = ∠FMK.