4. Известно, что ЕК = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что LEMK=LFMK.

Для доказательства равенства углов ∠EMK и ∠FMK рассмотрим треугольники EMK и FMK.

Дано:

• EK = FK
• EC = FC

Доказать: ∠EMK = ∠FMK

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC:
   • EK = FK (по условию)
   • EC = FC (по условию)
   • KC - общая сторона

   Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

2. Из равенства треугольников EKC и FKC следует, что углы ∠EKC = ∠FKC.
3. Теперь рассмотрим треугольники EMK и FMK:
   • EK = FK (по условию)
   • MK - общая сторона
4. Чтобы доказать равенство треугольников EMK и FMK, нам нужно доказать равенство углов ∠EMK и ∠FMK. Для этого рассмотрим углы ∠EKM и ∠FKM.

   ∠EKM = 180° - ∠EKC

   ∠FKM = 180° - ∠FKC

   Так как ∠EKC = ∠FKC, то и ∠EKM = ∠FKM.

5. Теперь рассмотрим треугольники EMK и FMK:
   • EK = FK (по условию)
   • MK - общая сторона
   • ∠EKM = ∠FKM (доказано выше)
6. Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников EMK и FMK следует, что ∠EMK = ∠FMK (как соответственные углы равных треугольников).

Что и требовалось доказать.