4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

Докажем, что ∠EMK = ∠FMK.

Рассмотрим треугольники EKC и FKC.

1. EK = FK (по условию).
2. EC = FC (по условию).
3. KC - общая сторона.

Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что ∠EKC = ∠FKC.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK.

1. EK = FK (по условию).
2. ∠EKM = ∠FKM (так как ∠EKC = ∠FKC).
3. MK - общая сторона.

Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK.