4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK=ZFMK.

Рассмотрим треугольники ЕКС и FКС.

ЕК = FK (по условию)

ЕС = FC (по условию)

КС - общая сторона.

Следовательно, треугольники ЕКС и FКС равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠EKC = ∠FKC.

Рассмотрим треугольники ЕМК и FМК.

ЕК = FK (по условию)

∠EKC = ∠FKC (доказано выше)

МК - общая сторона.

Следовательно, треугольники ЕМК и FМК равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK.