Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Угол ∠KAB является внешним углом треугольника KCD, а угол ∠KCD является внутренним углом треугольника KAB. Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, ∠BCD + ∠BAD = 180°.

Угол ∠KAB = 180° - ∠BAD. Угол ∠BCD = 180° - ∠KCD.

Так как ∠BCD + ∠BAD = 180°, то 180° - ∠KCD + 180° - ∠KAB = 180°, откуда ∠KAB = ∠KCD.

Угол ∠AKB является общим для треугольников KAB и KCD.

Следовательно, треугольники KAB и KCD подобны по двум углам (первый признак подобия). Доказано.