4. Известно, что СК = DK и ∠CKP = ∠DKP (рис. 47). Докажите, что МСР =LMDP.

Дано: CK = DK и ∠CKP = ∠DKP.

Требуется доказать: ∠MCP = ∠MDP.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники CKP и DKP. У них CK = DK (по условию), ∠CKP = ∠DKP (по условию), и сторона KP – общая. Следовательно, треугольники CKP и DKP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2. Из равенства треугольников CKP и DKP следует, что CP = DP.
3. Теперь рассмотрим треугольники MCP и MDP. У них CP = DP (доказано выше), сторона MP – общая.
4. Так как треугольник CDK равнобедренный (CK = DK) и KP является биссектрисой угла CKB (∠CKP = ∠DKP), то KP также является медианой, то есть P – середина отрезка CD.
5. Треугольники CMP и DMP равны по трем сторонам (CP = DP, MP – общая, CM = DM, так как точка P равноудалена от C и D).
6. Из равенства треугольников CMP и DMP следует, что ∠MCP = ∠MDP.

Ответ: ∠MCP =∠MDP.