3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Докажите, что ∠BAK =∠BCM.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Отметим точки M и K на сторонах AB и BC соответственно, так что BM = BK.

Требуется доказать, что ∠BAK = ∠BCM.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольник MBK. Так как BM = BK, то треугольник MBK также равнобедренный, и ∠BMK = ∠BKM.
3. Заметим, что ∠BAK = ∠BAC - ∠KAC и ∠BCM = ∠BCA - ∠MCA.
4. Рассмотрим треугольники ABK и CBM. У них AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC), BM = BK (по условию), и ∠ABC – общий угол. Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников ABK и CBM следует, что ∠BAK = ∠BCM.

Ответ: ∠BAK =∠BCM.