10. Известно, что в равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4. Найдите AC, если медиана AM = 3.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC = 4) проведена медиана AM = 3. Пусть M - середина BC, значит BM = MC = BC/2 = 4/2 = 2. Рассмотрим треугольник ABM. По теореме косинусов: AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 * AM * BM * cos(∠AMB) 16 = 9 + 4 - 2 * 3 * 2 * cos(∠AMB) 16 = 13 - 12 * cos(∠AMB) 3 = -12 * cos(∠AMB) cos(∠AMB) = -3/12 = -1/4 ∠AMB и ∠AMC - смежные углы, значит cos(∠AMC) = -cos(∠AMB) = 1/4. Теперь рассмотрим треугольник AMC. По теореме косинусов: AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 * AM * MC * cos(∠AMC) AC^2 = 9 + 4 - 2 * 3 * 2 * (1/4) AC^2 = 13 - 3 AC^2 = 10 AC = √10 Ответ: √10