4. Известны два члена геометрической прогрессии: 6₃ = 0,5 и 6₇ = 0,005. Найдите ее первый член.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, сначала найдем знаменатель прогрессии q, используя формулу:

$$ b_n = b_m * q^{n-m} $$

В нашем случае n = 7, m = 3, b₃ = 0,5 и b₇ = 0,005.

Подставим значения в формулу:

$$ 0,005 = 0,5 * q^{7-3} $$ $$ q^4 = \frac{0,005}{0,5} = 0,01 $$ $$ q = \sqrt[4]{0,01} = \sqrt[4]{\frac{1}{100}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $$

Теперь найдем b₁ используя формулу:

$$ b_n = b_1 * q^{n-1} $$

Выразим b₁:

$$ b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}} $$

Используем b₃ = 0,5 и q = 1/\sqrt{10}:

$$ b_1 = \frac{0,5}{(\frac{1}{\sqrt{10}})^{3-1}} = \frac{0,5}{(\frac{1}{\sqrt{10}})^2} = \frac{0,5}{\frac{1}{10}} = 0,5 * 10 = 5 $$

Ответ: 5