5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна -105, знаменатель прогрессии равен 4. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Пусть $$b_1$$ - первый член геометрической прогрессии, $$q = 4$$ - знаменатель. Сумма первых трех членов $$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$$. Дано $$S_3 = -105$$, значит $$b_1(1 + 4 + 4^2) = -105$$, то есть $$b_1(1 + 4 + 16) = b_1 cdot 21 = -105$$. Отсюда $$b_1 = \frac{-105}{21} = -5$$. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии: $$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-5(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{-5(1024 - 1)}{3} = \frac{-5 cdot 1023}{3} = -5 cdot 341 = -1705$$. Ответ: -1705