Известны два члена геометрической прогрессии: \(b_5 = 0,5\) и \(b_7 = 0,005\). Найдите ее первый член.

Сначала найдем знаменатель прогрессии \(q\). Мы знаем, что \(b_7 = b_5 * q^2\), так как между \(b_5\) и \(b_7\) два шага. Значит, \(0,005 = 0,5 * q^2\). Выражаем \(q^2\): \(q^2 = \frac{0,005}{0,5} = 0,01\). Следовательно, \(q = \pm 0,1\). Теперь найдем \(b_1\). Используем формулу \(b_5 = b_1 * q^4\), откуда \(b_1 = \frac{b_5}{q^4}\). Если \(q = 0,1\), то \(b_1 = \frac{0,5}{(0,1)^4} = \frac{0,5}{0,0001} = 5000\). Если \(q = -0,1\), то \(b_1 = \frac{0,5}{(-0,1)^4} = \frac{0,5}{0,0001} = 5000\). В обоих случаях \(b_1 = 5000\). Ответ: \(b_1 = 5000\)