2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A – точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и \(\angle ABO = 30^\circ\).

Так как AB - касательная к окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AB. Значит, треугольник \(\triangle OAB\) - прямоугольный с прямым углом при вершине A. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAB\). Известно, что \(\angle ABO = 30^\circ\) и \(OB = 10\) см. Необходимо найти длину катета OA, который является радиусом окружности. Используем синус угла \(\angle ABO\): \[\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{OA}{10}\] Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получим: \[\frac{1}{2} = \frac{OA}{10}\] \[OA = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\ \text{см}\] Ответ: Радиус окружности равен \(\mathbf{5\ \text{см}}\).