3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что \(\angle MNK = \angle MNF\).

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF = NK. Доказать: \(\angle MNK = \angle MNF\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник \(\triangle NKF\). Так как \(NF = NK\), то \(\triangle NKF\) - равнобедренный с основанием KF. Следовательно, \(\angle NKF = \angle NFK\). 2. Вписанные углы \(\angle MNK\) и \(\angle MNF\) опираются на хорды MK и MF соответственно. 3. Рассмотрим дуги, на которые опираются вписанные углы \(\angle NKF\) и \(\angle NFK\). * Угол \(\angle NKF\) опирается на дугу \(NF\). * Угол \(\angle NFK\) опирается на дугу \(NK\). 4. Так как \(NF = NK\), то дуги \(NF\) и \(NK\) равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, то есть \(\angle NKF = \angle NFK\). 5. Углы \(\angle MNK\) и \(\angle NKF\) являются смежными с углом \(\angle MNF\) и \(\angle KNF\) соответственно. Тогда, \(\angle MNK = 90^\circ - \angle NKF\) и \(\angle MNF = 90^\circ - \angle KNF\). Так как \(\angle NKF = \angle KNF\), то \(\angle MNK = \angle MNF\), что и требовалось доказать.