4. К окружности с центром О проведена касательная АР (Р - точка касания). Найдите площадь треугольника АОР, если ∠OAP = 30°, а радиус окружности равен 4.

4. Так как AP - касательная к окружности с центром O, то OP ⊥ AP. Следовательно, треугольник AOP - прямоугольный, с прямым углом ∠OPA = 90°.

OP - радиус окружности, следовательно, OP = 4.

tg ∠OAP = OP / AP

tg 30° = 4 / AP

AP = 4 / tg 30° = 4 / (1/√3) = 4√3

Площадь треугольника AOP:

S = (1/2) * OP * AP = (1/2) * 4 * 4√3 = 8√3

Ответ: $$8\sqrt{3}$$