4. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая AO. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

Так как АВ - касательная, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть \(\angle ABO = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора:

$$AO^2 = AB^2 + BO^2$$ $$13^2 = 12^2 + BO^2$$ $$169 = 144 + BO^2$$ $$BO^2 = 169 - 144$$ $$BO^2 = 25$$ $$BO = \sqrt{25} = 5$$

BO = 5 см, BO - радиус окружности, следовательно, радиус окружности равен 5 см.

Ответ: 5 см