Какое же место занял каждый из пяти бегунов, если каждый из болельщиков один раз сказал правду, а один раз соврал?

Решать логическую задачу будем, последовательно анализируя утверждения болельщиков и применяя логику исключения и предположений.

Нам даны следующие утверждения:

1. Серёжа занял второе место, а Коля – третье.
2. Серёжа занял второе место, а Ваня – четвёртое.
3. Надя заняла третье место, а Толя – пятое.
4. Толя занял первое место, а Надя – второе.
5. Коля занял первое место, а Ваня – четвёртое.

Среди этих утверждений ровно половина — правда, а половина — ложь. Это означает, что в каждом утверждении одна часть правдива, а другая — ложна.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. “Серёжа занял второе место, а Коля — третье.” Если Серёжа занял второе место (правда), то Коля не занимал третье место. Если Коля занял третье место (правда), то Серёжа не занимал второе место.
2. “Серёжа занял второе место, а Ваня — четвёртое.” Если Серёжа занял второе место (правда), то Ваня не занимал четвёртое место. Если Ваня занял четвёртое место (правда), то Серёжа не занимал второе место.
3. “Надя заняла третье место, а Толя — пятое.” Если Надя заняла третье место (правда), то Толя не занимал пятое место. Если Толя занял пятое место (правда), то Надя не занимала третье место.
4. “Толя занял первое место, а Надя — второе.” Если Толя занял первое место (правда), то Надя не занимала второе место. Если Надя заняла второе место (правда), то Толя не занимал первое место.
5. “Коля занял первое место, а Ваня — четвёртое.” Если Коля занял первое место (правда), то Ваня не занимал четвёртое место. Если Ваня занял четвёртое место (правда), то Коля не занимал первое место.

Шаги для решения:

1. Предположим, что Серёжа занял второе место (из утверждений 1 и 2). Тогда Коля не третье место (из утверждения 1), а Ваня не четвёртое место (из утверждения 2).
2. Из утверждения 5 (Коля первое место, Ваня четвёртое) следует, что если Коля первое место, то Ваня не четвёртое, что соответствует нашему предположению. Значит, либо Коля первое, либо Ваня четвёртое.
3. Рассмотрим, если Надя третье место (из утверждения 3). Тогда Толя не пятое. Если Толя первое место (из утверждения 4), тогда Надя не второе.
4. Объединим все данные. Если Серёжа второе место, Коля первое место, тогда Ваня не четвёртое, а Надя может быть третьей (и Толя не пятый) или Надя второй (и Толя не первый).
5. Предположим, что Надя действительно заняла второе место, тогда Толя не может быть первым, и из утверждения 3 (Надя третье, Толя пятое), Надя не третья, а Толя пятый. Следовательно, Коля первое место, Ваня четвёртое.

Возможные места:

Серёжа: 2-е место

Коля: 1-е место

Надя: 3-е место

Толя: 5-е место

Ваня: 4-е место

Проверим, соблюдены ли условия:

1. Серёжа второе, Коля третье (ложно)
2. Серёжа второе, Ваня четвёртое (правда)
3. Надя третье, Толя пятое (правда)
4. Толя первое, Надя второе (ложно)
5. Коля первое, Ваня четвёртое (правда)

В каждом утверждении по одному истинному и одному ложному утверждению. Все условия соблюдены.

Ответ:

Коля – 1 место

Серёжа – 2 место

Надя – 3 место

Ваня – 4 место

Толя – 5 место