Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 12 см и 32 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 684 см ². Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Пошаговое решение:

1. Пусть ширина окантовки равна \( x \) см. Тогда длина и ширина картинки с окантовкой будут \( 12 + 2x \) см и \( 32 + 2x \) см соответственно.
2. Площадь картинки с окантовкой равна произведению длины и ширины: \( (12 + 2x)(32 + 2x) = 684 \).
3. Раскрываем скобки: \( 384 + 24x + 64x + 4x^2 = 684 \).
4. Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону: \( 4x^2 + 88x - 300 = 0 \).
5. Делим уравнение на 4: \( x^2 + 22x - 75 = 0 \).
6. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 484 + 300 = 784 \).
7. Находим корни уравнения: \( x_1 = \frac{-22 + \sqrt{784}}{2} = \frac{-22 + 28}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-22 - \sqrt{784}}{2} = \frac{-22 - 28}{2} = -25 \).
8. Так как ширина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( x = 3 \) см.

Ответ: 3 см