Карточка № 4. Дано: NO = OS, ∠MNS = ∠CSN. Доказать: ∠NMS = ∠SCN.

Так как NO = OS, треугольник NOS равнобедренный, поэтому ∠ONS = ∠OSN.

По условию ∠MNS = ∠CSN. Вычитая из этих равных углов соответственно равные углы ∠ONS и ∠OSN, получаем ∠MNO = ∠CSO.

Углы MON и SOC вертикальные, следовательно, ∠MON = ∠SOC. Кроме того, NO = OS по условию. Значит, ΔMNO = ΔCSO по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует ∠NMO = ∠SCO. Точки M, O, S лежат на одной прямой, как и N, O, C, поэтому ∠NMO = ∠NMS и ∠SCO = ∠SCN. Следовательно, ∠NMS = ∠SCN.