Карточка 5. 1. Дать определение ромба. Сформулировать и доказать свойство диагоналей ромба.

Определение. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство диагоналей: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит углы ромба, через вершины которых она проходит, пополам.

Доказательство. Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = CO и BO = DO. Кроме того, AB = BC, поскольку ABCD — ромб. Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трём сторонам: AO = CO, BO — общая сторона, AB = BC. Поэтому ∠AOB = ∠COB. Эти углы смежные, значит, их сумма равна 180°; равные смежные углы составляют по 90°. Следовательно, AC ⟂ BD.

Из равенства треугольников также следует, что диагональ AC делит углы A и C пополам. Аналогично, диагональ BD делит пополам углы B и D.

Ответ: диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам.